Gemeinsam und zusammen sind Synonyme, also zwei Wörter für die selbe Sache.
Die Benutzung ist abhängig vom Sprachgefühl und erfolgt nach keinen Sprachregeln.
Zusammen sind wir stark. = Gemeinsam sind wir stark.
Wie gehen zusammen ins Kino. = Wir gehen gemeinsam ins Kino.
Bei Slogans (Gemeinsam für Afrika) wird eher gemeinsam verwendet.
Ich hoffe ich habe jetzt nichts verkehrt gemacht (/keinen Fehler gemacht) und (ich hoffe ich) konnte dir helfen.